Principio Olografico e Gravità

Dunque, eccoci qua con la prima puntata degli approfondimenti dedicati, come promesso, al recentissimo articolo di Erik Verlinde sull’ “Origine della Gravità e delle Leggi di Newton”. Devo, ahimè, confessare che questo post, con gli eventuali successivi sullo stesso argomento, violerà alcune delle regole non scritte di questo blog:
·         sarà sicuramente più “difficile” di quanto siano normalmente i miei post (non foss’altro perché l’argomento non sono le mie divagazioni ma la Fisica “seria”);
·         non conterrà nulla di originale, ma sarà solo una riformulazione di alcuni contenuti dell’articolo in questione. Finora, infatti, ho sempre proposto materiale almeno parzialmente originale (anche nell’excursus sul Principio Olografico e le neuroscienze almeno il parallelismo finale tra buchi neri e processi cerebrali inconsci era mio).
In altre parole, l’impegno implicito che mi sono assunto aprendo questo blog era di proporre elaborazioni personali e (quindi) accessibili ai non addetti ai lavori. Spero tuttavia che i meriti dell’argomento compensino la piccola forzatura a questa “blog-policy implicita”.
Per mio ordine mentale, l’esposizione seguirà comunque un percorso diverso da quello adottato da Verlinde; d’altronde, è ovvio che altrimenti tanto varrebbe leggere l’articolo originale (che è certamente meglio, se possibile).
In questo post vedremo una delle ipotesi fondamentali presentate da Verlinde: l’idea che la Gravità, nella sua formulazione newtoniana, non sia una forza fondamentale, ma sia derivabile da considerazioni di quella che potremmo chiamare “termodinamica informazionale” e dal Principio Olografico. In questo post, ragioneremo usando i normali concetti di spazio, tempo, massa ed energia, senza ancora tentare di affermare che alcuni di questi sono “non fondamentali”. Vediamo dunque di quali ingredienti abbiamo bisogno per questo scopo:
1.   Un po’ di normale termodinamica;
2.   Il Principio Olografico, come lo abbiamo già visto;
3.   L’Effetto Unruh, che invece è un concetto nuovo, e che è quindi bene introdurre.
L’Effetto Unruh consiste in sostanza nel fatto che un corpo che si muove di moto accelerato nel vuoto con un’accelerazione a non “avverte” una temperatura T = 0, ma una temperatura T = ħ a / (2 p c k), dove:
·         ħ è la costante di Planck;
·         c è la velocità della luce;
·         k è la costante di Boltzmann, ben nota in Termodinamica.
Questa equivalenza tra moto accelerato e temperatura del vuoto non zero sarà da noi in realtà usata in senso inverso, ossia per concludere che da una temperatura non nulla deriva un’accelerazione.
Consideriamo ora una situazione in cui una certa quantità di energia E si trova racchiusa all’interno di una regione sferica di raggio R.
Per la nota equazione di Einstein, in questa regione di spazio è quindi possibile considerare contenuta una massa M = E/c2.
Ora, il numero N dei “gradi di libertà” del sistema che stiamo considerando corrispondono, secondo il Principio Olografico, al numero di “unità di informazione” che possono essere “registrate” sulla superficie della regione sferica; questo numero è ovviamente proporzionale all’area A della superficie stessa e, per comodità, scriveremo che
N = A c3 /(G ħ)
Dove G è al momento una costante arbitraria. Solo tra poco la identificheremo con la costante di Gravitazione Universale di Newton.
Ci siete ancora? Se questa fosse una trasmissione televisiva, credo che avrei azzerato l’audience. Per fortuna, non siamo in TV; comunque, tranquillizzatevi, abbiamo quasi finito.
Resta infatti solo da determinare la temperatura della nostra superficie sferica. Per il Principio di Equipartizione dell’Energia (una delle equazioni “classiche” della Termodinamica) all’equilibrio termico la temperatura è determinata dalla ripartizione dell’energia E sui gradi di libertà del sistema, secondo la relazione
E = 1/2 * N k T
A questo punto, abbiamo tutto quello che ci serve. Infatti, se nell’ultima equazione sostituiamo N, otteniamo
E = 1/2 * k T A c3 /(G ħ)
ma, dato che A = 4 p R2,
E = M c2 = 2 k Tp R2 c3 /(G ħ)
Utilizzando infine la formula dell’Effetto Unruh, si ottiene
a = G M / R2
che è, magicamente, esattamente la legge della Gravitazione Universale di Newton.
Niente male, eh? Ne riparliamo nel prossimo post…

2 pensieri su “Principio Olografico e Gravità

  1. Pingback: Il Principio Olografico in Fisica: una Compilation | L'Incompetente

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