Animali, burocrazia e frattali

Cari amici, torno rapidamente sul tema degli ultimi post perché voglio sfruttare il momento di buona volontà blogger che mi pervade. Chi mi segue sa che a volte taccio per mesi, quindi quando mi viene voglia di scrivere è bene sfruttarla, specie se, come in questo caso, mi trovo a metà di un argomento. E a onor del vero, neanche questo post chiuderà il discorso, quindi speriamo che la voglia regga almeno fino al prossimo.
Negli ultimi post ho riportato alcuni interessanti dati rilevati da un fisico, Geoffrey West, che non riassumo qui (ma vi autorizzo a fare un salto a rileggerli). Da questi dati, emergono almeno un paio di domande alle quali vorrei provare a trovare una risposta:

  1. Perché animali e aziende presentano economie di scala nelle strutture “di servizio” (sistemi circolatori, nervosi, ecc. in un caso e infrastrutture nell’altro) e nel “metabolismo”, e cosa hanno in comune che giustifichi questa somiglianza?
  2. Perché le città presentano una simile tendenza per le infrastrutture, ma invece hanno un metabolismo che mostra “diseconomie” di scala (ossia, che è in proporzione maggiore per le città più grandi)?

A queste domande potremmo aggiungerne una terza:

  1. Quale utilità possono avere per noi le risposte alle prime due domande (ammesso che le troviamo)?

Auspicabilmente, questo post risponderà alla prima domanda.

Prima di cominciare, vorrei però chiarire una cosa: quello che dirò, con tutta onestà, è in sostanza già nel lavoro di West. Io vi ho segnalato una conferenza di poco più di un quarto d’ora, quindi estremamente sintetica, e un articolo su una parte del lavoro (quello sulle città); in rete oltre a questo ho trovato solo traccia di un’altra conferenza (sugli animali) che però non sono riuscito a vedere perché è in un formato un po’ scomodo. Insomma, è chiaro che c’è molto del lavoro di West che non sono in grado di mostrarvi; sono convinto che le cose che dirò in questo post, però, siano sostanzialmente implicite nella sua presentazione (se l’ho ben capita). Quindi, non vi propongo materiale “originale” ma, nella migliore delle ipotesi, qualche corollario delle affermazioni di West che spero rimanga nel seminato delle sue idee.

Dunque, cominciamo col dire che West ci informa che una qualsiasi struttura sistemica di un organismo animale mostra una regolarità in come “scala” da animali piccoli e piccolissimi ad animali grandi ed enormi. In pratica, l’esponente con cui cresce la dimensione della struttura in esame è inferiore all’esponente con cui cresce la dimensione complessiva dell’animale, e il rapporto tra i due è circa 0,75-0,80. Questo dato è estremamente stabile tra diversi ordini di grandezza di dimensioni. Un rapporto simile vale anche per il metabolismo, nel senso che gli animali grandi hanno un metabolismo in proporzione più lento.

Come si spiega questa cosa? Non a caso, West nel citare questo fattore di scala mostra immagini come quella qui sotto:

West polmoni
Il punto è che la Natura ha dovuto risolvere il problema di trovare un modo efficiente di “coprire” lo spazio occupato da un organismo “servendone” in qualche modo tutte le cellule senza “spendere” in modo proporzionale al numero di cellule, ma ottenendo un’economia di scala. E, come è chiaro dalla presentazione di West, per farlo utilizza strutture gerarchiche, di topologia frattale.

Se non fosse sufficientemente chiaro, consideriamo il frattale illustrato nella figura qui sotto, e cioè il triangolo di Sierpinski, tratto da Wikipedia:Sierpinski triangle

è chiaro che si tratta di un frattale a costruzione gerarchica, con infinite (in linea di principio) diramazioni, che finiscono per ricoprire determinate aree. La somiglianza con la struttura “simil-frattale” di bronchi e vasi sanguigni è evidente.
La cosa interessante è che i frattali godono di una particolare proprietà, che è loro connaturata: hanno una dimensione “effettiva” frazionaria. In altre parole, questa figura ha una dimensione intermedia tra 1 (quella di una linea) e 2 (quella di una superficie); nella geometria siamo abituati ad avere solo valori interi per le dimensioni di un oggetto geometrico, ma per i frattali non è così: se tentassimo di misurare la lunghezza del triangolo di Sierpinski troveremmo che è infinita. Per oggetti come questi, si definisce un concetto esteso di dimensione, che può assumere valori frazionari, e che si chiama dimensione di Hausdorff; questa, per il triangolo di Sierpinski, è pari a circa 1,585, mentre la dimensione geometrica del triangolo “ordinario” che lo delimita è ovviamente 2, come per ogni figura piana.

Questo significa che se prendiamo un triangolo e ci disegniamo sopra il triangolo di Sierpinski, e poi ingrandiamo N volte il lato del triangolo, abbiamo che il “numero di punti” del triangolo (cioè la sua area) cresce di un fattore N2, mentre il “numero di punti” del triangolo di Sierpinski cresce di un fattore N1,585 : il rapporto tra gli esponenti è appunto 1,585 / 2 = 0,793, ovviamente minore di 1: ritroviamo la crescita sublineare. Ecco che quindi l’ “economia di scala” osservata nelle strutture sistemiche si giustifica se consideriamo queste ultime, come peraltro l’osservazione ci invita a fare, come approssimazioni di strutture frattali, ovviamente finite. Quanto al metabolismo, può essere ragionevole ipotizzare che sia correlato a queste stesse dimensioni, in quanto queste strutture implicano un “consumo” di energia proporzionale alla loro dimensione, ad esempio per distribuire il sangue lungo il sistema circolatorio, o per alimentare i segnali lungo il sistema nervoso, o ancora, nel cervello che controlla tutti questi sistemi e che, se non erro, consuma da solo il 17% di tutta l’energia bruciata dal nostro organismo. E infatti i cervelli degli animali più grandi, tolto l’uomo, sono in proporzione più piccoli di quelli dei piccoli animali. Anche qui, abbiamo un’economia di scala. Potete vederlo nel grafico qui sotto, che ho “preso in prestito” da http://www.neurophys.wisc.edu , dove si riscontra più o meno il solito andamento sublineare, con un rapporto 0,66.


Una volta spiegata con i frattali a struttura gerarchica la legge di scaling sublineare individuata da West, riusciamo a spiegare anche, credo, le affinità altrimenti oscure tra animali e aziende: le aziende, infatti, hanno a loro volta delle strutture di servizio e di controllo che sono progettate appunto in modo molto somigliante al triangolo di Sierpinski. E anche il metabolismo di un’azienda tradizionale è fortemente correlato alla lunghezza delle catene gerarchiche, in quanto, idealmente, in una struttura gerarchicamente burocratica ogni “cellula” può comunicare solo con i “nodi” vicini, e ogni comunicazione che dovesse essere necessaria tra “cellule” lontane passa attraverso la struttura gerarchica stessa.

Ecco quello che, a mio parere, è il significato più profondo di quanto esposto da West, e sono convinto che, ora che l’ho espresso pedissequamente, lo riconoscerete in alcuni snodi della conferenza, ammesso che non lo abbiate già fatto.
Rimane da “glossare” la parte della conferenza relativa alle città e alle loro somiglianze e differenze con il modello che abbiamo visto per animali e aziende, ma penso ormai immaginiate dove andrò a parare, se non vi era già chiaro dalle parole di Geoffrey West…

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