Perché credere in Higgs o nei neutrini, ovvero del pregiudizio inevitabile

Una questione “collaterale” ma interessante legata ai recenti risultati sperimentali sul bosone di Higgs, che ho commentato nei post precedenti, è in un certo senso metodologica, e riguarda i “criteri di accettazione” che ognuno di noi applica a questo tipo di notizie.

A parte i criteri, diciamo così, “istituzionali” di validazione in uso in ciascuna comunità scientifica, alla fine ognuno si forma un’opinione più o meno bene informata. Ma questa opinione non è determinata solo dai dati presentati, o dalla credibilità degli autori delle ricerche.
Una persona mi ha chiesto: “come mai tu non credi che i neutrini vadano più veloce della luce ma credi che sia stato trovato il bosone di Higgs, quando il “livello di confidenza” della prima misura è 6 σ, mentre quella della seconda è a malapena 3 σ?” [per chi non è uso a questi parametri, significa che nel primo caso la probabilità che il dato dipenda da una “fluttuazione statistica” è meno di una su 500 milioni, mentre nel secondo è di 3 su 1000].

Già, perché? Non perché io creda che la prima ricerca sia meno seria della seconda: la qualificazione dei ricercatori nei due casi è equivalente, e la qualità degli apparati più o meno anche. Anzi, nel primo caso i dati sono molto più “maturi”, mentre nel secondo sono sostanzialmente quasi preliminari.

La risposta è semplice: perché il primo risultato è molto improbabile, mentre il secondo è piuttosto probabile. Direi che questa affermazione, per quanto molto intuitiva, merita una discussione, no? Vuol dire che ho dei preconcetti?

In un certo senso, sì, ma di preconcetti “sani”: si tratta semplicemente dell’applicazione non formalizzata della regola di inferenza bayesiana, che poi utilizza una forma della cosiddetta probabilità condizionata:

Tradotto in linguaggio ordinario: la probabilità di A, sapendo che è vera B, è data dalla probabilità “apriori” di A, moltiplicata per la probabilità di B quando è vera A, divisa per la probabilità totale di B. Questa, che è una formula elementare di calcolo delle probabilità, ha delle interessanti implicazioni una volta interpretata “secondo Bayes”.

Vediamo di applicare la regola al nostro caso: una volta effettuata la misura, l’ipotesi che si vuole verificare con la misura stessa viene corroborata o scoraggiata a seconda che P(B/A) / P(B) sia maggiore o minore di 1. Questo rapporto, in sostanza, sta a indicare se il valore trovato dalla misura sia più compatibile con la teoria da testare di un valore casuale. Nei casi che abbiamo visto, questo rapporto è inversamente proporzionale alla verosimiglianza che il risultato della misura non sia frutto di una fluttuazione casuale, e quindi nel caso dei neutrini è molto maggiore che nel caso di Higgs. Ma resta da considerare l’altro fattore P(A): infatti, cosa mai è quella che ho chiamato la “probabilità apriori” P(A)?

Beh, in sostanza, è la probabilità che in partenza assegno all’ipotesi da verificare. Questo può sembrare metodologicamente scorretto, in quanto è chiaro che se io conoscessi già la verosimiglianza dell’ipotesi in modo attendibile forse non farei neanche l’esperimento, tuttavia come ci insegna Bayes è necessario, e introduce un elemento di soggettività, qualora non sia possibile trovare un criterio oggettivo per valutare a priori P(A). Farò ora, ispirandomi al bel libro L’Illusione di Sapere, un paio di esempi per chiarire, e per evidenziare gli errori cui saremmo esposti se non tenessimo conto del criterio di Bayes nel valutare le probabilità.

Supponiamo che voi siate i giurati di un processo. Un testimone dichiara di aver visto allontanarsi dal luogo del delitto un’auto marrone scuro. Però il marrone scuro potrebbe confondersi col nero, e supponiamo anche che in città per ogni auto marrone scuro ne circolino 19 nere (tanto per dire). I giudici quindi non si fidano, e fanno fare una prova da cui emerge che il testimone ha un ottimo occhio e 9 volte su 10 distingue correttamente un’auto marrone da una nera (e viceversa). Un giurato potrebbe accontentarsi, e considerare attendibile la testimonianza, no?
Un attimo, vediamo cosa direbbe mr. Bayes: per applicare la formula che ho riportato sopra, vediamo come si applica a questo caso:
– A sta per “l’auto è marrone”, e quindi P(A) è la probabilità che un’auto, osservata a caso, sia marrone.
– B sta per “il testimone giudica l’auto marrone”, e quindi P(B) è la probabilità che, presa un’auto a caso nella popolazione esistente, il testimone dica che è marrone.
– quindi, la probabilità condizionata P(B/A) è la probabilità che il testimone giudichi marrone un’auto marrone, e così via.

Per quello che abbiamo detto, P(B/A) = 0,9; P(A) = 0,05, visto che le auto marroni sono un ventesimo del totale (ignoriamo tutte le auto di altri colori, tanto il ragionamento su più di due colori sarebbe lo stesso). Infine, qual è la probabilità che, presa un’auto a caso tra tutte quelle che ci sono, marroni o nere, il testimone dica che è marrone? Ovviamente, la somma tra la probabilità che l’auto sia marrone e che il testimone valuti esattamente (e quindi 0,05 * 0,9) e quella che l’auto sia nera e il testimone sbagli (0,95 * 0,1). Quindi,  P(B) = 0,14.
Alla fine, qual è la probabilità che l’auto vista dal testimone sia davvero marrone? Ebbene, solo poco più del 32%. Ve l’aspettavate, o avreste condannato un innocente?

Un altro caso illuminante è quello di uno screening clinico, diciamo per trovare una malattia gravissima e rara, che colpisca una persona su 10.000. Supponiamo di avere un test che risulti positivo sull’80% dei malati, e sull’ 1% dei sani: un test quindi che sembra decisamente buono. Sarebbe una buona idea, costi a parte, sottoporre a uno screening tutta la popolazione? Certamente no: chi risultasse positivo al test avrebbe  circa il 92,6% di probabilità di non avere la malattia. Ecco (uno dei) perché gli screening si fanno sulle categorie a rischio.

Alla fine, cosa concludere, specie nei casi in cui non conosciamo in modo così preciso il valore della probabilità “apriori” P(A)? Che, in qualsiasi valutazione sulla verosimiglianza di un fatto riportato, non solo sarebbe difficilissimo non farsi influenzare dai “pregiudizi” (ossia da una nostra idea preliminare di quanto sia “probabile a priori” quello che ci viene prospettato), ma sarebbe sbagliato, e potrebbe condurci a considerare erroneamente plausibili, che so, le storie di fantasmi. Quando qualcuno critica la “chiusura mentale” di chi ha un approccio scettico alle teorie sui cerchi nel grano o sugli effetti degli astri sul carattere, sta in realtà cercando di indurci in un disastroso errore cognitivo, quello di considerare “ugualmente plausibile” ciò che è coerente con le nostre conoscenze e ciò che è, per così dire, “campato in aria”.

Il punto non è evitare di avere “pregiudizi” nel senso sopra chiarito: è avere i pregiudizi “giusti”, e un esperto, alla fine, è una persona che ha sviluppato giudizi probabilistici a priori validi su un settore della conoscenza, e che li incorpora, più o meno consapevolmente, nelle sue valutazioni sul suo campo di attività. Ricordiamocelo.

3 pensieri su “Perché credere in Higgs o nei neutrini, ovvero del pregiudizio inevitabile

    • Giusto, effettivamente (dopo una consultazione di Wikipedia…) mi sembra che quel principio sia implicitamente basato su una stima di probabilità bayesiana.

  1. Proviamo ad applicare questo ragionamento alla prima misura della precessione del perielio di Mercurio (assegnamo una probabilità da esperti del tempo alle ipotesi del tempo: esistenza di un pianeta Vulcano interna a quella di Mercurio; un satellite di Mercurio; massa del 10% maggiore per Venere; non sfericità del Sole (J2 gravitazionale); modifiche della gravitazione universale)? Attenzione a non cadere in altro errore statistico, applicare un approccio che si basa sulla validità statistica delle capacità di previsione degli “esperti” a un evento che potrebbe rappresentare, di larga massima, una drastica riduzione dell’affidabilità della “esperienza”.

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