Era Meglio Morire da Piccoli

Dopo mesi di silenzio, torno sul tema delle pensioni e in particolare del calcolo dell’aspettativa di vita. Roba obiettivamente poco emozionante, a fronte delle meraviglie che la politica nostrana ci propone, ma questo è un blog apolitico, e le scoraggianti vicende di casa nostra le commento altrove.

Torniamo dunque all’aspettativa di vita. Abbiamo visto infatti che tra qualche anno l’età minima pensionabile sarà “aggiornata”, diciamo così, in funzione degli incrementi dell’aspettativa di vita. Nel mio post precedente ho già criticato alcuni aspetti “metodologicamente” dilettanteschi di questo criterio di calcolo, e quindi ora vorrei concentrarmi in particolare su come si stima l’aspettativa di vita (residua).

Premetto che tutti i dati quantitativi che proporrò sono prelevati dal sito dell’ISTAT, o sono mie rielaborazioni degli stessi. Ovviamente, è possibile che io li abbia interpretati o utilizzati male, nel qual caso sono l’unico responsabile degli errori che possono conseguirne. Attenzione, che ora la faccenda diventa noiosissima, ma non so che farci; per chi non abbia tempo o voglia di leggere tutto, sintetizzo: i dati disponibili avvalorano la tesi che le stime ISTAT sull’aspettativa di vita siano sistematicamente troppo basse. La conseguenza di questo, paradossalmente, sarebbe una penalizzazione ulteriore dei futuri pensionati, che si ritroverebbero a dover andare in pensione più tardi per “scontare” anche incrementi di longevità già acquisiti da generazioni precedenti ma non ancora “contabilizzati” dalle statistiche ISTAT, troppo prudenziali.

Le grandezze in osservazione
Per ogni anno dal 1974 al 2007, sul sito ISTAT è riportata una serie di dati per ciascuna classe di età E tra zero e 119 anni, tra cui ci concentreremo sulla probabilità di sopravvivenza PS fino alla fine dell’anno, dato che in ogni caso gli altri parametri sono tutti correlati tra loro, e quindi identificato l’andamento di PS è possibile poi ricavarne gli altri parametri interessanti, e in particolare l’aspettativa di vita residua VR in anni.

Il mio  intento è quindi discutere alcuni aspetti potenzialmente dubbi della metodologia con cui l’ISTAT stima PS per il futuro.

Per indicare in modo più generale i dati sulle probabilità di sopravvivenza (effettivi cioè basati sulla rilevazione del tasso storico di mortalità, o proiettati cioè basati su stime derivate da dati relativi a anni precedenti), riformulerò la notazione di PS nel modo seguente, in modo da semplificare anche il mio ragionamento (si fa per dire: scoprirete da soli quanto poco attendibile sia questa mia promessa di semplicità):

Indicherò con PSA2(A1, AN) la probabilità di sopravvivenza fino a fine anno di una persona nata nell’anno AN, calcolata per l’anno A1 sulla base dei dati disponibili fino all’anno A2. E’ chiaro che se A2 >= A1 tale probabilità è rilevata su dati effettivi. Il valore da utilizzare in questo caso (dati storici) è quello che possiamo indicare con PSA1(AN) , ossia la probabilità di sopravvivenza fino a fine anno di una persona nata nell’anno AN, rilevata nell’anno A1. In altri termini, PSA>=A1(A1, AN)= PSA1(A1, AN)= PSA1(AN).
Ah, dimenticavo: nel seguito, userò solo i dati relativi ai maschi. Se usassi anche quelli delle femmine finirei per dover esprimere l’idea che le donne debbano avere una pensione significativamente più bassa degli uomini e/o andare in pensione diversi anni dopo, ed esprimere questo tipo di opinioni nuocerebbe gravemente alla (mia) salute.

L’approccio ISTAT
Come dicevo, i dati ISTAT disponibili vanno dal 1974 al 2007. In realtà, però, se ci poniamo la semplice domanda: “qual è la migliore valutazione dell’aspettativa di vita residua di un sessantacinquenne sulla base dei dati noti fino al 2007?”, l’ISTAT risponde utilizzando i soli dati del 2007: PSA1(A>A1, E)= PSA1(E) per tutte le età E. In altre parole, se io voglio calcolare l’aspettativa di vita residua nel 2007 di una persona nata nel 1942, ho bisogno di stimare tutti i valori PS2007(1942), PS2007(2008,1942), PS2007(2009,1942) e così via. E’ vero, come sembra assumere l’ISTAT, che la migliore stima di PS2007(2008,1942) sia PS2007(2007,1941), e lo stesso per tutte le età? Secondo me, no. Nel fare questo, non si tiene conto delle differenze nel tasso di sopravvivenza tra persone nate in anni diversi, e quindi alla fine, all’ampliarsi della differenza di età, tra generazioni diverse.  Dire che la probabilità che un sessantacinquenne di oggi avrà nel 2020 di arrivare al settantaseiesimo anno di età è uguale (può essere stimata al meglio essere uguale) alla probabilità che un settantacinquenne di oggi arrivi al suo settantaseiesimo compleanno significa ignorare le differenze di mortalità tra le due classi di età, e in altre parole significa ignorare tutti i dati di mortalità tranne quelli relativi al 2007. Non sembra una scelta ottimale.

Un approccio alternativo?
D’accordo, ma quale potrebbe allora essere un approccio alternativo? Se gli ultimi dati di cui dispongo sono quelli del 2007, e voglio stimare la probabilità che un nato nel 1942 di allora sia sopravvissuto fino al suo sessantaseiesimo compleanno, devo non solo conoscere PS2007(1942) ma anchestimare PS2007(2008,1942), ossia la sopravvivenza, nel 2008, dei nati nel 1942 e l’ISTAT come stima utilizza PS2007(1941), ossia la sopravvivenza, nel 2007, dei nati nel 1941 ossia l’ultimo valore disponibile per gli uomini di quell’età. Quale altro valore potrebbe rappresentare una stima migliore?
La mia idea è che una stima migliore debba tenere conto della differenza eventualmente rilevata negli anni precedenti tra la mortalità dei nati nel 1942 e quella dei nati nel 1941.
Infatti, se il rapporto R1942(A1)=(PSA1(1942)/ PSA1-1(1941)) fosse sempre maggiore di 1 per tutti gli anni A1 fino al 2007, ossia i nati nel 1942 si fossero dimostrati “più resistenti” dei nati nel 1941, sarebbe logico attendersi la stessa cosa per il 2008. Più formalmente, si potrebbe dire che il valore atteso di R dovrebbe essere espresso come E(R1942(A1+1))=f (R1942(A1), …, R1942(A1-M)), posto di avere i dati relativi agli M+2 anni precedenti A1. E’ chiaro che resterebbe da determinare la forma della funzione di stima f(x), che dovrebbe essere ricavata empiricamente, ad esempio con il metodo dei minimi quadrati.
La stima così ottenuta per R(A1+1) potrà essere usata, insieme agli altri dati, per stimare R(A1+2), e così via.

Un esempio di applicazione
A titolo puramente illustrativo, adotterò per f(x) la funzione di interpolazione lineare di Microsoft Excel applicata ai soli 10 anni precedenti. Ovviamente una funzione di questo tipo è un esempio rozzo, ma potrà essere utile per evidenziare qualitativamente l’effetto dell’approccio descritto.
Se prendiamo in esame appunto i nati nel 1942 (che nel 2007 hanno compiuto 65 anni, l’età di riferimento per la pensionabilità), il grafico seguente mostra la differenza tra l’andamento del tasso di sopravvivenza previsto dall’ISTAT e quello previsto da questa “proiezione alternativa”:
Le due curve coincidono, ovviamente, per il periodo in cui il valore di PSA(1942) è rilevato da dati effettivi (ossia fino a A=2007). Da quel momento in poi, si vede che la nostra proiezione alternativa è sistematicamente superiore a quella ISTAT, ossia prevede una maggiore longevità. E’ importante osservare che i valori riportati nel grafico (i PS) non rappresentano la popolazione superstite a una certa età, ma la quota di superstiti rispetto alla popolazione dell’anno precedente. Se si dovesse calcolare la popolazione superstite a partire da quella nota del 2007, i fattori si cumulerebbero e la differenza tra le due stime sarebbe amplificata.

Come verificare la bontà del metodo proposto?
Ovviamente, sebbene appaia verosimile che il metodo proposto sia migliore di quello attualmente adottato dall’ISTAT nelle tabelle cui facciamo riferimento, dato che utilizza informazioni di trend che l’altro ignora, è da dimostrare che a fronte della maggiore complessità esso porti risultati effettivamente migliori.
A questo scopo, ovviamente, è possibile utilizzare le serie storiche di dati disponibili per simulare l’applicazione nel passato del metodo alternativo e confrontarne le previsioni con quelle che l’ISTAT avrebbe fatto nello stesso momento.
A scopo nuovamente del tutto illustrativo, ho provato ad applicare i due approcci spostandoci di 15 e 10 anni “nel passato”, simulando quindi di adottare come ultimo anno di cui siano disponibili i dati il 1992 e il 1997, e confrontando le due “proiezioni” con i dati effettivamente rilevati negli anni seguenti. Il risultato è riportato nelle figure seguenti:

E’ evidente che, almeno in questi casi, la proiezione alternativa è preferibile a quella ISTAT, anche se rimane mediamente più bassa dei dati reali. In altre parole, l’aspettativa di vita appare ancora sottostimata, ma decisamente meno di quanto accade per la stima ISTAT.

Conclusioni  e possibili approfondimenti                                  
Sia pure nei limiti di un’applicazione estremamente grossolana, mi sembra si possa dire che è verosimile che le stime pubblicate dall’ISTAT sull’aspettativa di vita residua siano migliorabili. Apparentemente, anzi, c’è la possibilità che siano sistematicamente troppo prudenti, e che l’incremento di longevità prevedibile per i prossimi anni sia ancora più forte di quello indicato. Sarebbe interessante applicare questo approccio in modo più compiuto e verificarne la bontà rispetto a quello più semplice usato dall’ISTAT in modo sistematico e non puntuale come ho provato a fare sopra; inoltre sarebbe certamente opportuno ricalcolare i valori proiettati dell’aspettativa di vita, anche per verificare se le differenze tra le due proiezioni giustifichino la maggiore complessità di quella che suggerisco.

Migliori risultati rispetto alle formule da me usate si potrebbero ottenere adottando forme più generali (ad esempio polinomiali) per f(x), e/o permettendo a PSA(AN) di dipendere non solo dai valori di PSA(AN-1), ma anche da quelli delle classi di età precedenti (ossia tenere conto di trend potenzialmente più complessi nelle variazioni di longevità tra diverse “generazioni”).
Tutti questi approfondimenti, auspicabili o meno che appaiano agli addetti ai lavori, sono ahimè superiori alle forze di un povero Incompetente. Devo anzi confessare, a mio disdoro, che per predisporre i grafici che vedete sopra ho dovuto portare al limite le mie abilità su Excel, col serio rischio che io abbia commesso qualche grossolano errore senza accorgermene. La mia consolazione è che con tutta probabilità non ve ne accorgerete neanche voi

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3 thoughts on “Era Meglio Morire da Piccoli

  1. interessante. sarebbe ancora più interessante capire perché accade. ci sono degli eventi che evidentemente impattano in senso favorevole e la cui influenza è in crescita; ma quali? le vaccinazioni antinfluenzali?  le unità di terapia intensiva coronarica?per citarne due che hanno avuto un impatto drammatico nella riduzione della mortalità egli ultimi dieci anni. molto interessante. 

  2. La prima reazione è, ovviamente: la hanno sottostima coscientemente per motivi meramente politici. Ripensandoci, potrebbe essere tristemente non vero: potrebbero aver dato una consulenza ad un incompetente.
    Però potevi farla molto più semplice: bastava "Dire che la probabilità che un sessantacinquenne di oggi avrà nel 2020 di arrivare al settantaseiesimo anno di età è uguale (può essere stimata al meglio essere uguale) alla probabilità che un settantacinquenne di oggi arrivi al suo settantaseiesimo compleanno significa ignorare le differenze di mortalità tra le due classi di età, e in altre parole significa ignorare tutti i dati di mortalità tranne quelli relativi al 2007. Non sembra una scelta ottimale"
    Chi poteva capire avrebbe capito, per gli altri non credo che la parte tecnica possa essere illuminante.

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